Formeln Dreieck

Allgemeine Eigenschaften - Satz des Pythagoras - Kathetensatz - Höhensatz - Winkelfunktionen - Sinussatz - Kosinussatz - Fläche/Umfang

Allgemeine Eigenschaften

Ein allgemeines Dreieck

Bennennung der Eckpunkte	A, B und C (normalerweise im Uhrzeigersinn)
Winkelsumme	180°
Bennennung der Winkel	α (am Eckpunkt A), β (am Eckpunkt B) und γ (am Eckpunkt C)
Benennung der Seiten	Die Seiten werden nach dem Eckpunkt benannt mit Kleinbuchstaben, die ihnen gegenüber liegen.

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligem Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich groß, wie das Quadrat über der Hypotenuse. Im nachfolgenden Bild ist der Rechte Winkel der an Ecke C des Dreiecks.

c² = a² + b²

a² = c² - b²

b² = c² - a²

c = √(a² + b²)

a = √(c² - b²)

b = √(c² - a²)

a  Kathete
b  Kathete
c  Hypotenuse

Kathetensatz

Der Kathetensatz des Euklid

Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten q und c.

a2 = p·c

b2 = q·c

Höhensatz

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist.

h2 = p·q

Winkelfunktionen

sin α = a : c

cos α = b : c

tan α = a : b

cot α = b : a

sin β = b : c

cos β = a : c

tan β = b : a

cot β = a : b

a  Gegenkathete von α, Ankathete von β
b  Gegenkathete von β, Ankathete von α
c  Hypotenuse

Sinussatz

a : b = sin α : sin β

a = (sin α · b) / sin β

b = (sin β · a) / sin α

sin α = (sin β · a) / b

sin β = (sin α · b) / a

b : c = sin β : sin γ

b = (sin β · c) / sin γ

c = (sin γ · b) / sin β

sin β = (sin γ · b) / c

sin γ = (sin β · c) / b

c : a = sin γ : sin α

c = (sin γ · a) / sin α

a = (sin α · c) / sin γ

sin γ = (sin α · c) / a

sin α = (sin γ · a) / c

Kosinussatz

a² = b² + c² - 2bc · cos α

b² = a² + c² - 2ac · cos β

c² = a² + b² - 2ab · cos γ

Fläche/Umfang

A = (l1 · b) / 2

l1 = (A · 2) / b

b = (A · 2) / l1

U = l1 + l2 + l3

l1 = U - (l2 + l3)

l2 = U - (l1 + l3)

l3 = U - (l1 + l2)

A           Fläche
l1, l2, l3  Längen der Seiten
b           Breite
U           Umfang

---

Pfad: Home / Mathematik / Geometrie / Dreieck